Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.
sábado, 18 de junio de 2011
miércoles, 15 de junio de 2011
Aritmetica del Computador
El usuario se comunica con la computadora en sistema decimal, es decir, introduce en ella y extrae de ella números en base decimal. Al recibir los datos, para poder trabajar con ellos, la computadora los convierte al sistema binario, su lenguaje natural de operación. Todas las operaciones se efectúan en binario y los resultados obtenidos, antes de ser entregados al usuario, la máquina los convierte al sistema decimal.
Sin embargo, al efectuar las conversiones y realizar los cálculos se suscitan pequeños errores que, si no se prevén, pueden propagarse y arrojar resultados muy inexactos o totalmente absurdos. Por eso es tan importante el entender la aritmética de las computadoras e identificar las situaciones en que pueden ocurrir errores severos.
La operación interna de una computadora se basa en la aritmética binaria, en la que la base es el 2 y sólo hay dos símbolos: 0 y 1 (bit). Los bits se agrupan en unidades llamadas palabras, las cuales pueden contener 8, 16, 32 o 64 bits, dependiendo de la computadora de que se trate. También se utilizan otras unidades denominadas bytes, constituidos generalmente por 8 bits.
REPRESENTACIÓN DE LOS NUMEROS
LOS NÚMEROS ENTEROS EN COMPUTADORA
Los números enteros requieren de al menos una palabra para almacenarse dentro de la memoria de la computadora; si el tamaño de palabra de la computadora es de 2 bytes (16 bits), el primer bit registra el signo: positivo si es 0, negativo si es 1, y los 15 bits restantes se usan para registrar números enteros binarios en el rango de 000000000000000 a 111111111111111.
Al convertir el número binario 111111111111111 a sistema decimal, se obtienen las cotas inferior y superior en sistema decimal:
214 + 213 + 212 + 211 + 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 215 - 1 = 32767
Conforme a esto, el mayor entero positivo posible sería el 32767 y el menor entero negativo posible sería el -32767; pero la mayoría de las computadoras usan el complemento A2 para almacenar los números negativos.
Entonces los números positivos se registran así:
00000000000000012 = 110 01111111111111112 = 3276710
Para los números negativos, la polaridad se invierte: los ceros se cambian por unos y los unos por ceros y se le añade un 1 al resultado, de manera que su registro se hace así:
11111111111111112 = -110 10000000000000012 = -3276710
LOS NÚMEROS REALES EN COMPUTADORA
La forma de registrar un número real en una computadora digital depende del diseño del hardware y del software; sin embargo, el formato es del mismo tipo en todos los casos y se basa en el principio de utilizar la notación de punto flotante normalizado.
Cualquier número real decimal X puede ser expresado en notación científica normalizada; ésta consiste en expresar el número como una potencia de 10, asignándole el exponente n que resulte de desplazar el punto decimal las posiciones necesarias para que todos los dígitos significativos del número en cuestión queden inmediatamente a la derecha del punto, garantizando que el primero de ellos sea diferente de cero:
X = F x 10n
donde F es un número menor que 1 y mayor o igual que 0.1: 0.1 £ F < 1 y n es un entero positivo, negativo o cero: n Î Z.
Ejemplos:
· 836.23810 = 0.836238 x 103
· -0.0067281310 = -0.672813 x 10-2
De la misma manera, aunque con valores significativos diferentes, en sistema binario también se puede expresar cualquier número real con la notación científica normalizada, a la que en este caso se le llama notación de punto flotante normalizado.
X = G x 2m
donde el exponente m es un entero positivo, negativo o cero, expresado en binario, y G es la mantisa del número, la cual debe ser menor que 1 y mayor o igual que 0.12 (ó 0.510).
Por ejemplo:
· 11111.012 = 0.11111012 x 2101
· -0.000000111011012 = 0.111011012 x 2-110
La manera más común de almacenar números reales en una PC es utilizando palabras de 32 bits (4 bytes), distribuidos como sigue:
· 1 bit para el signo de la mantisa,
· 1 bit para el signo del exponente,
· 7 bits para el exponente entero, expresado en binario
· 23 bits para la mantisa, expresada en binario
Ejemplo: Representar en sistema binario, en una palabra de 32 bits, el número 31.2510
31.2510 = 0.312510 x 102 = 0.312510 x 10010
31.2510 = 0.01012 x 11001002 = 11111.012 = 0.11111012 x 2101
ARITMÉTICA DE PUNTO FLOTANTE
Multiplicación: la operación de multiplicar dos números expresados en punto flotante implica sumar los exponentes y multiplicar las mantisas. Si la mantisa resultante no está normalizada, se recurre a renormalizar el resultado ajustando adecuadamente el exponente. Después, es necesario redondear la mantisa a p bits.
División: para llevar a cabo la división en punto flotante, se divide la mitad de la mantisa del numerador por la mantisa del denominador, mientras que los exponentes se restan. Esto es:
Adición y sustracción: la operación de suma o resta se realiza del siguiente modo: se toma la mantisa del operando de menor magnitud (supongamos que es y) y se desplaza fx - fy posiciones a la derecha. La mantisa resultante es sumada (o restada) y el resultado se normaliza y después se redondea. Es decir:
EN CONCLUSIÓN,: en todas las operaciones aritméticas elementales en punto flotante, el error absoluto del resultado es no mayor de 1 en el bit menos significativo de la mantisa.
Bibliografía:
Aritmética del Computador: http://www.uv.es/diaz/mn/node7.html
Aritmética de la Computadora: Aritmética de la Computadora.ppt
Aritmética de Punto Flotante: http://www.uv.es/diaz/mn/node14.html
martes, 31 de mayo de 2011
Símbolos para Diagramas de Flujos
Un diagrama de flujo es una representación gráfica de un algoritmo o proceso. Se utiliza en su gran mayoría en la programación. Estos diagramas utilizan símbolos con significados bien definidos que representan los pasos del algoritmo, y representan el flujo de ejecución mediante flechas que conectan los puntos de inicio y de término. Entre los principales simbolos tenemos:
| ||||||||||||||||||||||||||||
A continuación un ejemplo de utilización de algunos de los símbolos en un diagrama de flujo:  Bibliografía: Mis Algoritmos: http://mis-algoritmos.com/aprenda-a-crear-diagramas-de-flujo Ejemplo de Diagrama de Flujo: http://www.monografias.com/trabajos59/diagrama-flujo/diagrama-flujo2.shtml Diagrama de Flujo: http://www.wikipedia/diagramadeflujo |
lunes, 30 de mayo de 2011
Analisis Numerico
1. ¿Qué es Análisis Numérico?
El análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. Para lo cual se define las siguientes conceptualizaciones:
· Disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
Algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica.
· Otra definición de Análisis Numérico es el estudio de los errores en los cálculos.
La definición de error no quiere decir una equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
2. ¿Para qué sirve el Análisis Numérico?
El Análisis Numérico sirve para mejorar la comprensión de los conceptos de las matemáticas, observando cómo algunos de dichos conceptos deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.
3. ¿Cuándo se puede realizar el Análisis Numérico?
Un Análisis Numérico indica la aplicación de métodos, que se realiza cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, sistemas de ecuaciones etc.) son incapaces de dar una respuesta. Estos métodos son de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones.
4. Ejemplo de Análisis Numérico
Cuando la función objetivo quiere maximizar la ganancia de una empresa en un problema de programación lineal, en donde existen las restricciones que son ecuaciones de primer grado. Ejemplo:
Función Objetivo: 3X1+2X2+X3
Restriciones:
· 2X1+3X2>23
· 4X1+7X2+5X3<35
· X1,X2≥0
PROBLEMAS EN EL ANÁLISIS NUMÉRICO
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU DIMENSIÓN
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
- Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes.
- Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales.
CLASIFICACIÓN ATENDIENDO A SU NATURALEZA O MOTIVACIÓN
- Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
- Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
- Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.
ÁREAS DE ESTUDIO DEL ANÁLISIS NUMÉRICO
El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema que resolver.
- Cálculo de los valores de una función
- Interpolación, extrapolación y regresión
- Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
- Optimización
- Evaluación de integrales
- Ecuaciones diferenciales
Bibliografía:
Análisis Numérico. Disponible en:
Análisis Numérico. Disponible en:
Cálculo Numérico:
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